「２つの袋 A,B があり、それぞれに玉が入っている。A と B に入っている玉の個数が異なるとき、玉の個数が同じになるまで次の操作をくり返し行う。

【操作】

　A と B に入っている玉の個数を比較し、玉の個数が多い袋から、少ない袋に入っている玉の個数の分だけ、玉を取り除く。

　A と B に入っている玉の個数は、A に m 個、B に n 個の玉が入っているとき、[ m , n ] と表す。」

の (3)

「操作を３回行うと、玉の個数が [ 1 , 1 ] になった。このとき、A と B に最初に入っていた玉の個数をそれぞれ求め、それを [ m , n ] の形ですべて書きなさい。ただし、A に最初に入っていた玉の個数は、B に最初に入っていた玉の個数より多かったものとする。」

で、正答率は１２％でした。

　まず、前問の (2) から以下のことが出てきます。

①　玉の個数を [ x , y ] とする。x > y のとき、操作を１回行うと、玉の個数は [ x - y , y ] となる。

　たとえば、A が６個、B が４個なら [ 6 , 4 ] で、１回目の操作で A の６個から４個を取り除くと、A が２個、B が４個になります。[ 6 - 4 , 4 ] つまり [ 2 , 4 ] になるわけです。

②　操作を１回行うと、玉の個数が [ 1 , 1 ] になった。このとき、操作前の玉の個数は、[ 2 , 1 ] または [ 1 , 2 ] である。

（操作を行う前は、A,B のどちらか一方が他方より１個多かったはずだから。）

③　操作を１回行うと、玉の個数が [ a , b ] になった。このとき、操作前の玉の個数は [ a , a + b ] または [ a + b , b ] である。

（操作前に B の方が多かったら、B から a 個を取り除いて [ a , b ] になったはず。また、A の方が多かったら、A から b 個を取り除いて [ a , b ] になったはずだから。）

　さて、(3) では、３回目の操作で [ 1 , 1] になったので、(2) の②より、２回目の操作で [ 2 , 1 ] または [ 1 , 2 ] のいずれかになったはずです。

　[ 2 , 1 ] だった場合、(2) の③より、１回目の操作で [ 2 + 1 , 1 ] または [2 , 1 + 2 ] つまり [ 3 , 1 ] または [ 2 , 3 ] のいずれかでした。

　[ 3 , 1 ] だった場合、操作前は [ 3 + 1 , 1 ] または [ 3 , 1 + 3 ] つまり [ 4 , 1 ] または [ 3 , 4 ] で、

  [ 2 , 3 ] だった場合、操作前は [ 2 + 3 , 3 ] または [ 2 , 3 + 2 ] つまり [ 5 , 3 ] または [ 2 , 5 ] でした。

　２回目の操作で [ 1 , 2 ] だった場合、操作前は、 A,B の個数を入れ替えて、

　[ 1 , 4 ]  [ 4 , 3 ]  [ 3 , 5 ]  [ 5 , 2 ] のいずれかとなります。

　これらの８通りの中から A が B より多かった場合を選ぶと４つになります。正答は、

 [ 4 , 1 ]  [ 4 , 3 ]  [ 5 , 2 ]  [ 5 , 3 ] です。